شب ۴

سلام ملت.

میریم واسه سوال شب 4.

اول راه سوال شب 3 رو میگم. کسایی که میخوان اسپویل نشه این قسمتو اسکیپ کنن :8

اول ثابت میکنیم اعداد هر سطری از جدول رو اگه روی محور اعداد ضربدر بزنیم به جاشون، یه بازه تشکیل میشه (در واقع یعنی همه اعداد بین مینیمم سطر و ماکسیمم سطر هم توی سطر اومده)

اثبات این قسمتش اینجوریه که شما مینیمم رو بگیر بذار x، ماکسیمم رو بگیر بذار y، بعد حالا یه x و یه y رو بگیر، بین این دوتا همه اعداد بازه [x , y] اومدن؛ چرا، چون ما از عدد x با یه دونه یه دونه حرکت کردن رسیدیم به y، پس اولین عددی که نیومده این بینو اگه بگیریم مثل z، میبینیم که یهو از z-1 پریدیم به یه عدد غیر از z که تناقضه. پس این ثابت شد. حالا بازه سطر i رو [Li , Ri] بذارید. حالا دوتا حالت داره :

1. اشتراک [Li , Ri] ها ناتهی باشه. در این صورت اگه اشتراکشون عدد x رو داشته باشه، عدد x تو همه سطرا اومده و ما بردیم.

2. اشتراکشون تهی باشه. یعنی دوتا سطر هستن که بازه هاشون مجزا عه. فرض کنید بازه هاشون [L , R] و [X , Y] باشه که X>R. حالا از سطر [L , R] شروع به حرکت میکنیم تا به سطر [X , Y] برسیم. تو هر مرحله هر عدد از سطر [L , R] مثبت منفی 1 میشن و در آخر هر عدد بین [X , Y] عه. در اینصورت، همه اعداد بازه از X رد شدن، پس یعنی در هر ستون حداقل یه X داریم. پس بازم بردیم.

پس در کل عم میبریم.

حالا سوال شب 4 :

یه دنباله نامتناهی از اعداد متمایز و صحیح A داریم که Ai>1. ثابت کنید نامتناهی جایگاه مانند k وجود داره که Ak>k باشه.

نویسنده : امید آزادی