سوال

عید رو با چند روز تاخیر تبریک میگم ، امیدوارم که تا امروزش واستون خوب شده باشه همینجوری هم ادامه پیدا کنه. چون داریم به مرحله 2 نزدیک میشیم تصمیم گرفتیم یه چند تا سوال بزاریم که شبیه مرحله 2 باشه و بتونه کمک کنه. از حامد ولیزاده و دانیال مهرجردی هم که تو طرح سوالا به ما کمک کردن ممنونم. خب اینم سوالا:

1- به تازگی قراره که تو شاززز آباد جاده کشی شه. میدونیم که شاززز آباد 100 تا شهر داره و یک نوع جاده کشی مطلوبه اگه هر 11 تا شهرو که در نظر بگیریم حداقل 2 تا باشن که بینشون یه جاده هست ، حالا ثابت کنید َیک جاده کشی مطلوب حداقل 450 تا جاده دارد. یک مثال هم بزنید که شامل دقیقا 450 جاده است.

2- علی کلید که متخصص باز کردن گاوصندوقه ، جدیدا به یه گاوصندوق برخورده که زیاد عادی نیست. رمز این گاوصندوق یک عدد ه (خب این که عادیه :) ) ولی نکته ای که هست اینه که این رمز ، جواب این مساله است که روی گاوصندوق حک شده : « تعداد زیرمجموعه های {100,...,1,2,3} را بیابید که مجموع اعضای آن بر 32 بخشپذیر باشد. » حالا شما به علی آقا کمک کنید تا بتونه کاوصندوق رو بازکنه و به پاداشش برسه ، یه بخشیش رو هم میده به شما.

3- علی کلید باز به یه گاوصندوق عجیب رسیده. این گاوصندوق این طوریه که 100 تا سوال به این شکل میپرسه. « بیتینگ جفت (i , j) چند است ؟ » میدانیم بیتینگ (0,0) مساوی 0 است. و برای سایر جفت ها به این شکل محاسبه می شود : کوچکترین عددی که در بیتینگ هیچ کدام از جفت های (i,0) , (i,1) , ... , (i,j-1) و  (i-1,j) ، .... ، (1,j) ، (0,j) نیامده است. به دلیل زمانبر بودن محاسبه ی این کار علی آقا حدس میزند که بیتینگ (i , j) مساوی است با i xor j است. اما این تنها یک حدس است به او کمک کنید که درستی یا نا درستی حدسش را بفهمد.

4- تقی و نقی دوقلو ان. تقی المپیاد ریاضی و نقی المپیاد کامپیوتر. یه روز که نقی دنباله سوال بوده از تقی یه سوال ترکیبیات میخواد. تقی هم این سوال رو میده :

« 100 تا عدد گنگ داریم. ثابت کنید 50 تاشون هستند که جمع دو به دو ی آنها گنگ ست. »

نقی وقتی سوال رو میشنوه میگه من گفتم ترکیبیات نه جبر و تِنظریه اعداد که! تقی هم بلافاصله جواب سوال رو میگه و معلوم میشه که سوال واقعا ترکیبیاته. حال شما مثل نقی عمل نکنید و رو سوال بدون این که فکر کنید  ریاضویه فکر کنید.

رور اول مرحله دوم ، تشریحیه ، میتونید خوشحال باشید!منبع خبر  هم کاملا موثقه.